Question

18．已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)閇-2，2]的奇函數(shù)，且在[0，2]上單調(diào)遞增．
（Ⅰ）求證：f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若不等式f（log₂（2m））＜f（log₂（m+2））成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）任取x₁、x₂∈[-2，0]且x₁＜x₂，則0≤-x₂＜-x₁≤2，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)、f（x）的單調(diào)性
判斷出f（x₁）＜f（x₂），由函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和題意判斷f（x）在[-2，2]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性、定義域、對(duì)數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 證明：（Ⅰ）任取x₁、x₂∈[-2，0]，且x₁＜x₂，
則0≤-x₂＜-x₁≤2，
∵f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，且f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x₂）＜f（-x₁），則f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞增；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）和題意知：f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，
∴不等式f（log₂（2m））＜f（log₂（m+2））化為：
$\left\{\begin{array}{l}{-2≤lo{g}_{2}^{（2m）}≤2}\\{-2≤lo{g}_{2}^{（m+2）}≤2}\\{lo{g}_{2}^{（2m）}＜lo{g}_{2}^{（m+2）}}\\{2m＞0，m+2＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{8}≤m＜2$，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[\frac{1}{8}，2）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考函數(shù)單調(diào)性的證明，奇函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)、變形能力，注意函數(shù)的定義域．