Question

17．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為a的正方形，E是CC₁的中點(diǎn)，若該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為10πa²，則異面直線AE與C₁D₁所成的角為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 先求出該長(zhǎng)方體的外接球的半徑，再求出該長(zhǎng)方體的高，以D為原點(diǎn)，DA為x員，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AE與C₁D₁所成的角的大�。�

解答 解：∵在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為a的正方形，
E是CC₁的中點(diǎn)，該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為10πa²，
∴該長(zhǎng)方體的外接球的半徑為r=$\sqrt{\frac{10π{a}^{2}}{4π}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}a$，
設(shè)該長(zhǎng)方體的高為b，則$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}+^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}a$，解得b=2$\sqrt{2}a$，
以D為原點(diǎn)，DA為x員，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（a，0，0），E（0，a，$\sqrt{2}a$），C₁（0，a，2$\sqrt{2}a$），D₁（0，0，2$\sqrt{2}a$），
$\overrightarrow{AE}$=（-a，a，$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{{C}_{1}{D}_{1}}$=（0，-a，0），
設(shè)異面直線AE與C₁D₁所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{C}_{1}{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{{C}_{1}{D}_{1}}|}$=$\frac{{a}^{2}}{2a•a}$=$\frac{1}{2}$．
∴θ=60°．
∴異面直線AE與C₁D₁所成的角為60°．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意長(zhǎng)方體的外接球、向量法的合理運(yùn)用．