Question

5．在△ABC中，設(shè)邊a，b，c所對的角為A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc-8）cosA+accosB=a²-b²．
（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；
（Ⅱ）若$a=\sqrt{5}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理化簡已知等式可得${b^2}+{c^2}-{a^2}-8•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=0$，又△ABC不是直角三角形，解得bc=4，又b+c=5，聯(lián)立即可解得b，c的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b²+c²-2bccosA≥2bc-2bccosA=8-8cosA，解得$cosA≥\frac{3}{8}$，可求$sinA≤\frac{{\sqrt{55}}}{8}$，利用三角形面積公式即可得解三角形面積的最大值．

解答 （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵$（bc-8）•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}+ac•\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}={a^2}-{b^2}$，
∴$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2}-8•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}+\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2}={a^2}-{b^2}$，
∴${b^2}+{c^2}-{a^2}-8•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=0$，
∵△ABC不是直角三角形，
∴bc=4，
又∵b+c=5，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ c=4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}b=4\\ c=1\end{array}\right.$…（7分）
（Ⅱ）∵$a=\sqrt{5}$，由余弦定理可得5=b²+c²-2bccosA≥2bc-2bccosA=8-8cosA，
∴$cosA≥\frac{3}{8}$，
∴$sinA≤\frac{{\sqrt{55}}}{8}$，所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{\sqrt{55}}}{4}$．
∴△ABC面積的最大值是$\frac{{\sqrt{55}}}{4}$，當(dāng)$cosA=\frac{3}{8}$時(shí)取到…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，基本不等式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．