Question

10．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，SA=BC=2，AB=4，M，N，D分別是SC，AB，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求二面角S-ND-B的余弦值；
（3）求點(diǎn)M到平面SND的距離．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點(diǎn)E，連接ME，NE．則ME∥SA，由線面垂直得ME⊥AB，由直角性質(zhì)得NE⊥AB，從而AB⊥平面MNE，由此能證明MN⊥AB．
（2）過(guò)A作AF⊥DN且與DN的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接SF，由已知得∠SFA是二面角S-ND-A的平面角，也是二面角S-ND-B的平面角的補(bǔ)角，由此能示出二面角S-ND-B的余弦值．（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥SF于H，由已知得AH的長(zhǎng)為點(diǎn)A到平面SND的距離，點(diǎn)M到平面SND的距離是點(diǎn)C到平面SND的距離的$\frac{1}{2}$倍，點(diǎn)C到平面SND的距離等于點(diǎn)A到平面SND的距離，由此能求出點(diǎn)M到平面SND的距離．

解答 （本題滿分14分）
（1）證明：取AC的中點(diǎn)E，連接ME，NE．則ME∥SA，
又SA⊥平面ABC，∴ME⊥平面ABC．
∵AB?平面ABC，∴ME⊥AB．（1分）
∵N，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴NE∥BC．
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，∴NE⊥AB．
∵M(jìn)E∩NE=E，ME?平面MNE，NE?平面MNE，
∴AB⊥平面MNE．（3分）
∵M(jìn)N?平面MNE，∴MN⊥AB．（4分）
（2）解：過(guò)A作AF⊥DN且與DN的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接SF
∵SA⊥DF，AF⊥DF，SA∩AF=A，∴DF⊥平面SAF，∴DF⊥SF
∴∠SFA是二面角S-ND-A的平面角，也是二面角S-ND-B的平面角的補(bǔ)角，----（7分）
在Rt△DBN中，$ND=\sqrt{D{B^2}+N{B^2}}=\sqrt{5}$，$sin∠DNB=\frac{DB}{ND}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
在Rt△AFN中，AF=AN$sin∠ANF=2×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
在Rt△SAF中，$SF=\sqrt{S{A^2}+A{F^2}}$=$\frac{{2\sqrt{30}}}{5}$，$cos∠AFS=\frac{AF}{SF}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
∴二面角S-ND-B的余弦值為$-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．（10分）
（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥SF于H，
由（2）知平面SAF⊥平面SND，且平面SAF∩平面SND=SF，
∴AH⊥平面SND．∴AH的長(zhǎng)為點(diǎn)A到平面SND的距離．
在Rt△AFN中，$AH=\frac{SA•AF}{SF}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．（12分）
∵點(diǎn)M是SC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M到平面SND的距離是點(diǎn)C到平面SND的距離的$\frac{1}{2}$倍．
∵AC∥ND，∴AC∥平面SND．
∴點(diǎn)C到平面SND的距離等于點(diǎn)A到平面SND的距離．
∴點(diǎn)M到平面SND的距離是$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．