Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²+mx+$\frac{7}{2}$（m＜0），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及m的值；
（2）當0＜b＜a時，求證：f（a+b）-f（2a）＜$\frac{b-a}{2a}$．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求出切線斜率等于f'（1），從而可得到切線方程，最后切線方程與函數(shù)g（x）聯(lián)立可求出m的值．
（2）首先證明ln（1+x）＜x，先對f（a+b）-f（2a）＜$\frac{b-a}{2a}$進行整理變形為ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{2a}$）＜$\frac{2a}$-$\frac{1}{2}$，再根據(jù)ln（1+x）＜x，可得證．

解答 （1）解：∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，
直線l是函數(shù)f（x）=lnx的圖象在點（1，0）處的切線，
∴其斜率為k=f′（1）=1，
∴直線l的方程為y=x-1．
又因為直線l與g（x）的圖象相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+mx+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，消去y，可得$\frac{1}{2}$x²+（m-1）x+$\frac{9}{2}$=0，
得△=（m-1）²-9=0⇒m=-2（m=4不合題意，舍去），
則有直線l的方程為y=x-1和m=-2；
（2）證明：由（1）知，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+$\frac{7}{2}$，
令h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），
∴h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1（x＞-1）
當-1＜x＜0時，h′（x）＞0；當x＞0時，h′（x）＜0．
于是，h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
則當x=0時，h（x）取得最大值h（0）=2，
即有h（x）≤2，即為ln（1+x）＜x．
不等式f（a+b）-f（2a）＜$\frac{b-a}{2a}$，即為
ln（a+b）-ln（2a）＜$\frac{2a}$-$\frac{1}{2}$即有l(wèi)n（$\frac{1}{2}$+$\frac{2a}$）＜$\frac{2a}$-$\frac{1}{2}$，
當0＜b＜a時，即有0＜$\frac{2a}$＜$\frac{1}{2}$，
可令x=$\frac{2a}$-$\frac{1}{2}$，即有-$\frac{1}{2}$＜x＜0，
由ln（1+x）＜x，可得ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{2a}$）＜$\frac{2a}$-$\frac{1}{2}$成立．
則有不等式f（a+b）-f（2a）＜$\frac{b-a}{2a}$成立．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系、導數(shù)的幾何意義、根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的最值的問題．