Question

2．設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1≥0}\\{x+3y-3≥0}\\{x+y-2≤0}\end{array}\right.$，則z=$\frac{y}{x+1}$的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{5}$，1]
• B． [$\frac{1}{6}$，$\frac{5}{4}$]
• C． [$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{2}$]
• D． [$\frac{1}{5}$，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義以及斜率公式的計算，即可求z的取值范圍．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
z=$\frac{y}{x+1}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點（x，y）到定點D（-1，0）的斜率，
由圖象知BD的斜率最大，CD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$），即BD的斜率k=$\frac{\frac{5}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{5}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），即CD的斜率k=$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{5}$，
即$\frac{1}{5}$≤z≤$\frac{5}{4}$，
故選：D．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃以及直線斜率的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．