Question

3．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，（x-1）f′（x）-f（x）＜0恒成立，若a=f（2），b=$\frac{1}{2}$f（3），c=（$\sqrt{2}$+1）f（$\sqrt{2}$），則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�

• A． c＜a＜b
• B． b＜a＜c
• C． a＜b＜c
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$，對(duì)其求導(dǎo)可得g′（x），結(jié)合題意分析可得有g(shù)′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)，進(jìn)而分析可得a=f（2）=$\frac{f（2）}{2-1}$=g（2），b=$\frac{1}{2}$f（3）=$\frac{f（3）}{3-1}$=g（3），c=（$\sqrt{2}$+1）f（$\sqrt{2}$）=$\frac{f（\sqrt{2}）}{\sqrt{2}-1}$=g（$\sqrt{2}$），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$，
其導(dǎo)數(shù)g′（x）=$\frac{（x-1）f′（x）-（x-1）′f（x）}{（x-1）^{2}}$=$\frac{（x-1）f′（x）-f（x）}{（x-1）^{2}}$，
又由當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，（x-1）f′（x）-f（x）＜0恒成立，
則有g(shù)′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
又由a=f（2）=$\frac{f（2）}{2-1}$=g（2），b=$\frac{1}{2}$f（3）=$\frac{f（3）}{3-1}$=g（3），
c=（$\sqrt{2}$+1）f（$\sqrt{2}$）=$\frac{f（\sqrt{2}）}{\sqrt{2}-1}$=g（$\sqrt{2}$），
又由函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
則有b＜a＜c；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是依據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$．