Question

18．如圖．ABCD為平行四邊形，BCEF是邊長為1的正方形．BF⊥BA，∠DAB=$\frac{π}{3}$，AB=2AD．
（Ⅰ）求證：BD⊥FC；
（Ⅱ）在線段BF上是否存在一點T，使得DE、DT兩條直線與平面DFC所成角相等，若存在，求出BT的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理求出BD=$\sqrt{3}$，由此得到AD⊥BD，從而BD⊥BC，進(jìn)而BF⊥平面ABCD，由此能證明BD⊥平面BCEF，從而得到BD⊥FC．
（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段BF上存在一點T，使得DE、DT兩條直線與平面DFC所成角相等，并能求出BT．

解答 證明：（Ⅰ）∵BCEF是邊長為1的正方形，AB=2AD，
∴BD=$\sqrt{1+4-2×1×2×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，∴BD⊥BC，
∵BCEF是邊長為1的正方形，BF⊥BA，
∴BF⊥BC，又BA∩BC=B，∴BF⊥平面ABCD，
∴BF⊥BD，又BF∩BC=B，∴BD⊥平面BCEF，
∵FC?平面BCEF，∴BD⊥FC．
解：（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
D（0，0，0），E（0，2，1），C（0，2，0），F(xiàn)（1，2，1），
$\overrightarrow{DE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{DF}$=（1，2，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
設(shè)平面DFC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=x+2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
設(shè)直線DE與平面DCF所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
假設(shè)線段BF上存在一點T（1，2，t），0≤t≤1，使得DE、DT兩條直線與平面DFC所成角相等，
則$\overrightarrow{DT}$=（1，2，t），且sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DT}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DT}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-t|}{\sqrt{5+{t}^{2}}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
由0≤t≤1，解得t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴線段BF上存在一點T（1，2，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），使得DE、DT兩條直線與平面DFC所成角相等，此時BT=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查使得兩直線與平面所成角相等的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．