Question

2．已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，有以下四個(gè)命題
①直線SC與平面ABC所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②∠SCA=60°；
③若點(diǎn)D為直徑SC上一點(diǎn)，且$\frac{SD}{CD}$=3，則SC⊥平面ABD；
④在球O內(nèi)任取一點(diǎn)P，則P落在三棱錐S-ABC內(nèi)的概率是$\frac{\sqrt{2}}{8π}$．
其中正確命題有②③④（填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 設(shè)球心為O，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，延長CO₁交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC，分別對(duì)4個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)球心為O，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
延長CO₁交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴OO₁=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴高SD=2OO₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴直線SC與平面ABC所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，不正確；
②CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴SA=$\sqrt{3}$，
∴cos∠SCA=$\frac{1+4-3}{2×1×2}$=$\frac{1}{2}$
∴∠SCA=60°，正確；
③若點(diǎn)D為直徑SC上一點(diǎn)，且$\frac{SD}{CD}$=3，則OD=$\frac{1}{2}$，∴AD=$\sqrt{1+\frac{1}{4}-2×1×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴SC⊥AD，同理SC⊥BD，
∵AD∩BD=D，∴SC⊥平面ABD，正確；
④∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_{三棱錐S-ABC}=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，∵球的體積為$\frac{4}{3}π$，
∴在球O內(nèi)任取一點(diǎn)P，P落在三棱錐S-ABC內(nèi)的概率是$\frac{\frac{\sqrt{2}}{6}}{\frac{4}{3}π}$=$\frac{\sqrt{2}}{8π}$，正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷，考查球的內(nèi)接幾何體，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．