Question

19．半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，則圓柱的表面積為（　　）

• A． 3πR²
• B． 2πR²
• C． $\frac{5π{R}^{2}}{2}$
• D． $\frac{7π{R}^{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意圓柱的底面為球的截面，由球的截面性質(zhì)可得出圓柱的高為h、底面半徑為r與球的半徑為R的關(guān)系，再用h和r表示出圓柱的側(cè)面積，利用基本不等式求最值即可．

解答 解：如圖為軸截面，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為S，
則（$\frac{h}{2}$）²+r²=R²，
即h=2 $\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$．
∵S=2πRh=4πr•$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=4π $\sqrt{{r}^{2}（{R}^{2}-{r}^{2}）}$≤4π $\sqrt{\frac{（{r}^{2}+{R}^{2}-{r}^{2}）^{2}}{4}}$=2πR²，
取等號(hào)時(shí)，內(nèi)接圓柱底面半徑為 $\frac{\sqrt{2}}{2}$R，高為 $\sqrt{2}$R．
圓柱的表面積為：2πR²+2π（$\frac{\sqrt{2}}{2}$R）²=3πR²．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球與圓柱的組合體問題、以及利用基本不等式求最值問題，難度一般．