Question

10．已知點A（1，1）、B（3，5）到直線l距離均為1，直線l的方程是x=2；y=2x-1±$\sqrt{5}$；2x-y-1=0．

Answer 1

分析 分類討論：直線l的斜率不存在時，直線l的斜率存在時，當l∥AB時，設直線l的方程為：y=$\frac{5-1}{3-1}x$+m，當直線l經(jīng)過線段AB的中點（2，3）時，設直線l的方程為：y-3=k（x-2），分別利用點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：直線l的斜率不存在時，直線l：x=2滿足條件，因此x=2；
直線l的斜率存在時，
當l∥AB時，設直線l的方程為：y=$\frac{5-1}{3-1}x$+m，化為y=2x+m．
∵點A（1，1）、B（3，5）到直線l距離均為1，
∴$\frac{|2-1+m|}{\sqrt{5}}$=1，解得m=$-1±\sqrt{5}$，此時可得直線l的方程為：y=2x-1$±\sqrt{5}$．
當直線l經(jīng)過線段AB的中點（2，3）時，設直線l的方程為：y-3=k（x-2），
化為kx-y+3-2k=0，
∵點A（1，1）、B（3，5）到直線l距離均為1，
∴$\frac{|k-1+3-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|3k-5+3-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
化為|k-2|=|2-k|，
解得k=2．此時直線l的方程為：2x-y-1=0．
綜上可得滿足條件的直線l的方程為：x=2；y=2x-1±$\sqrt{5}$；2x-y-1=0．
故答案為：x=2；y=2x-1±$\sqrt{5}$；2x-y-1=0．

點評 本題考查了直線的方程、相互平行的直線斜率之間的關系、點到直線的距離公式，考查了分類討論思想方法與計算能力，屬于中檔題．