Question

18．已知{a_n}是首項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，若$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)k，則k=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出2a₁-d=k（4a₁-2d），且d=4kd，從而得到k=$\frac{1}{2}$或d=2a₁．d=0 或k=$\frac{1}{4}$．由此能求出k．

解答 解：∵{a_n}是首項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)k，
∴S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
S_2n=2na₁+$\frac{1}{2}$•2n（2n-1）d，
∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{2{a}_{1}+（n-1）d}{4{a}_{1}+（4n-2）d}$=k，
則2a₁+（n-1）d=k•[4a₁+（4n-2）d]對(duì)于任意的n恒成立．
（2a₁-d）+nd=k（4a₁-2d）+4kdn，
故：2a₁-d=k（4a₁-2d），（1）
且d=4kd，（2）
由（1）得：k=$\frac{1}{2}$或d=2a₁．
當(dāng)d=2a₁時(shí)．S_n=n²•a₁，S_2n=4n²•a₁，$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{1}{4}$成立．
由（2）得：d=0 或k=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)d=0時(shí)，S_n=na₁，S_2n=2na₁，$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$n=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)d≠0時(shí)，k=$\frac{1}{4}$，代入（1）得：d=2a₁，
此時(shí)：S_n=n²•a₁，S_2n=4n²•a₁，$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{1}{4}$成立．
綜上可知：k=$\frac{1}{2}$或k=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．