Question

14．算式：x²+$\frac{1}{{x}^{2}+2}$的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)t=x²+2，t≥2，則x²+$\frac{1}{{x}^{2}+2}$=t+$\frac{1}{t}$-2，設(shè)f（t）=t+$\frac{1}{t}$-2，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)t=x²+2，t≥2，
則x²+$\frac{1}{{x}^{2}+2}$=t+$\frac{1}{t}$-2，
設(shè)f（t）=t+$\frac{1}{t}$-2，
∴f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0恒成立，
∴f（t）在[2，+∞）為增函數(shù)，
∴f（t）_min=f（2）=2+$\frac{1}{2}$-2=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，屬于基礎(chǔ)題．