Question

19．已知定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是奇函數(shù)．
（1）求a、b的值；
（2）若對任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（cos²2x）+f（3sin2x-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知f（x）+f（-x）=0恒成立，且a≥0；從而可得$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$+$\frac{-{2}^{-x}+b}{{2}^{-x+1}+a}$=0恒成立，化簡可得2（ab-2）-（a-2b）（2^x+2^-x）=0恒成立，從而解得．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而化恒成立為k＜cos²2x+3sin2x恒成立，從而化為函數(shù)的最值問題．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是R上的奇函數(shù)，
∴f（x）+f（-x）=0恒成立，且a≥0；
即$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$+$\frac{-{2}^{-x}+b}{{2}^{-x+1}+a}$=0恒成立，
故（-2^x+b）（2^-x+1+a）+（-2^-x+b）（2^x+1+a）=0恒成立，
化簡可得，
2（ab-2）-（a-2b）（2^x+2^-x）=0恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}{ab-2=0}\\{a-2b=0}\end{array}\right.$，
解得，a=2，b=1；
（2）由（1）知，
f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），
故f（x）在R上是減函數(shù)，
∵f（cos²2x）+f（3sin2x-k）＜0，
∴f（cos²2x）＜-f（3sin2x-k）=f（k-3sin2x），
∴cos²2x＞k-3sin2x恒成立，
即k＜cos²2x+3sin2x恒成立，
而cos²2x+3sin2x=-（sin2x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{13}{4}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴sin2x∈[0，1]，
∴當(dāng)sin2x=0時，cos²2x+3sin2x有最小值1，
故k＜1．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域的求法及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，同時考查了恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題的方法．