Question

2．如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，D，E分別為BC，AB的中點(diǎn)，直線DE交圓O于F，G，且直線DE與過A點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P，DF=1，DE=2，PE=3．
（1）求證：△PEA～△BDE；
（2）求線段PA的長．

Answer 1

分析 （1）證明兩組對應(yīng)角相等，即可證明：△PEA～△BDE；
（2）設(shè)PG=y，GE=x，則x+y=3，利用三角形相似，可得$\frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{2+x}}$=$\frac{3}{\sqrt{6y}}$，由此求線段PA的長．

解答 （1）證明：∵PA是過點(diǎn)A的切線，
∴∠BAP=∠BCA．
∵DE∥AC，
∴∠BCA=∠BDE，
∵∠BEA=∠PEA，
∴△PEA～△BDE；
（2）設(shè)PG=y，GE=x，則x+y=3①，
PA=$\sqrt{6y}$，BD=$\sqrt{2+x}$，BE=$\sqrt{3x}$，
∵△PEA～△BDE，
∴$\frac{EB}{BD}$=$\frac{PE}{AP}$，
∴$\frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{2+x}}$=$\frac{3}{\sqrt{6y}}$②，
由①②可得x=2，y=1或x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{5}{2}$，
∴PA=$\sqrt{6}$或PA=$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．