Question

10．已知f（x）=|ax+2|，g（x）=|2x+b|．
（1）若a=1，b=-2，求不等式f（x）-g（x）≥-2的解集；
（2）求證：f（x）≥g（x）恒成立，的條件為ab=4且|a|≥2．

Answer 1

分析 （1）若a=1，b=-2，分類討論求不等式f（x）-g（x）≥-2的解集；
（2）f（x）≥g（x），即|ax+2|≥|2x+b|，即（a²-4）x²+（4a-4b）x+4-b²≥0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：a=1，b=-2，不等式f（x）-g（x）≥-2，即|x+2|-|2x-2|≥-2．
x≤-2時(shí)，-x-2+2x-2≥-2，解得x≥2，無解；
-2＜x＜1時(shí)，x+2+2x-2≥-2，解得x≥-$\frac{2}{3}$，∴-$\frac{2}{3}$≤x＜1；
x≥1時(shí)，x+2-2x+2≥-2，解得x≤6，∴1≤x≤6；
綜上所述，不等式的解集為{x|-$\frac{2}{3}$≤x≤6}；
（2）證明：f（x）≥g（x），即|ax+2|≥|2x+b|．
∴（a²-4）x²+（4a-4b）x+4-b²≥0，
∵f（x）≥g（x）恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4≥0}\\{（4a-4b）^{2}-4（{a}^{2}-4）（4-^{2}）≤0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|a|≥2}\\{（ab-4）^{2}≤0}\end{array}\right.$，
∴ab=4且|a|≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．