【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ ﹣1(x≠0),k∈R.
(1)當(dāng)k=3時,試判斷f(x)在(﹣∞,0)上的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)若對任意x∈R,不等式f(2x)>0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)當(dāng)k∈R時,試討論f(x)的零點個數(shù).
【答案】
(1)解:當(dāng)k=3,x∈(﹣∞,0)時,f(x)=x﹣ ,
>0,
∴f(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞增.
證明:在(﹣∞,0)上任取x1,x2,令x1<x2,
f(x1)﹣f(x2)=( )﹣( )=(x1﹣x2)(1+ ),
∵x1,x2∈(﹣∞,0),x1<x2,∴ ,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴f(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞增
(2)解:設(shè)2x=t,則t>0,f(t)=t+ ,
①當(dāng)k>0時,f′(t)=1﹣ ,
t= 時,f′(t)=0,且f(t)取最小值,
f( )= =2 ﹣1,
當(dāng)k 時,f( )=2 ﹣1>0,
當(dāng)0<k≤ 時,f( )=2 ﹣1≤0,
∴k> 時,f(2x)>0成立;0<k≤ 時,f(2x)>0不成立.
②當(dāng)k=0時,f(t)=t﹣1,
∵t∈(0,+∞),不滿足f(t)恒大于0,∴舍去.
③當(dāng)k<0時,f 恒大于0,
∵ ,且f(x)在(0,+∞)內(nèi)連續(xù),
∴不滿足f(t)>0恒成立.
綜上,k的取值范圍是( ,+∞)
(3)解:①當(dāng)k=0時,f(x)=x﹣1,有1個零點.
②當(dāng)k>0時,
(i)當(dāng)x>0時,f(x)=x+ ﹣1,f′(x)=1﹣ ,
當(dāng)x= 時,f(x)取極小值,且f(x)在(0,+∞)內(nèi)先減后增,
由f(x)函數(shù)式得 ,
f( )=2 ﹣1,
當(dāng)k= 時,f( )=0,f(x)在(0,+∞)內(nèi)有1個零點,
當(dāng)k> 時,f( )>0,f(x)在(0,+∞)內(nèi)有0個零點,
當(dāng)0<k< 時,f( )<0,f(x)在(0,+∞)內(nèi)有2個零點.
(ii)當(dāng)x<0時,f(x)=x﹣ ﹣1,f′(x)=1+ ,
f′(x)恒大于0,∴f(x)在(﹣∞,0)單調(diào)遞增,
由f(x)表達(dá)式,得: , ,
∴f(x)在(﹣∞,0)內(nèi)有1個零點.
綜上,當(dāng)k=0時,f(x)有1個零點;當(dāng)0<k< 時,f(x)有3個零點;當(dāng)k= 時,f(x)有2個零點;當(dāng)k> 時,f(x)有1個零點.
③當(dāng)k<0時,同理k>0的情況:
當(dāng)﹣ <k<0時,f(x)有3個零點;當(dāng)k=﹣ 時,f(x)有2個零點;當(dāng)k<﹣ 時,f(x)有1個零點.
綜上所述,當(dāng)k=0或k> 或k<﹣ 時,f(x)有1個零點;
當(dāng)k= 或k=﹣ 時,f(x)有2個零點;
當(dāng)0<k< 或﹣ <k<0時,f(x)有3個零點
【解析】(1)當(dāng)k=3,x∈(﹣∞,0)時,f(x)=x﹣ , >0,f(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞增.利用定義法能進(jìn)行證明.(2)設(shè)2x=t,則t>0,f(t)=t+ ,根據(jù)k>0,k=0,k<0三個情況進(jìn)行分類討論經(jīng),能求出k的取值范圍.(3)根據(jù)k=0,k>0,k<0三種情況分類討論,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)的零點個數(shù).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平行四邊形ABCD(如圖1),AB=4,AD=2,∠DAB=60°,E為AB的中點,把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置,使得A1C=4,F(xiàn)是線段A1C的中點(如圖2).
(1)求證:BF∥面A1DE;
(2)求證:面A1DE⊥面DEBC;
(3)求二面角A1﹣DC﹣E的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高;
(2)計算甲班的樣本方差;
(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,定義在[﹣2,2]的偶函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則方程f(f(x))=0的實根個數(shù)為( )
A.3
B.4
C.5
D.7
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0;命題q:實數(shù)x滿足x2﹣5x+6≤0
(1)若a=1,且q∧p為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若p是q必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩個平面垂直,下列命題: ①一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線.
②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線.
③一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面.
④一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.3
B.2
C.1
D.0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知不等式組 表示的平面區(qū)域為D,則
(1)z=x2+y2的最小值為 .
(2)若函數(shù)y=|2x﹣1|+m的圖象上存在區(qū)域D上的點,則實數(shù)m的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知對任意平面向量 =(x,y),把 繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到的向量 =(xcosθ﹣ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ得到點P.
(1)已知平面內(nèi)點A(2,3),點B(2+2 ,1).把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn) 角得到點P,求點P的坐標(biāo).
(2)設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點繞坐標(biāo)原點沿順時針方向旋轉(zhuǎn) 后得到的點的軌跡方程是曲線y= ,求原來曲線C的方程.
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