Question

5．已知f（x）是R上的增函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（f（x）-3^x）=4，則f（x）+f（-x）的最小值是4．

Answer 1

分析 通過f（f（x）-3^x）為定值4及函數(shù)的單調(diào)性可知f（x）-3^x為定值c，進(jìn)而可求出c=1，利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，f（x）-3^x為定值c，即f（x）=c+3^x，
又∵f（f（x）-3^x）=4，
∴f（x）-3^x=f（c）=4，
即c+3^c=4，解得：c=1，
∴f（x）=1+3^x，
∴f（x）+f（-x）=2+3^x+3^-x≥2+2$\sqrt{{3}^{x}•{3}^{-x}}$=2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)3^x=3^-x時(shí)取等號(hào)，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想，涉及基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．