Question

13．已知a，c為正整數(shù)，b＞0，且abc（a+b+c）=1，求（a+b）（b+c）的最小值．

Answer 1

分析 a，c為正整數(shù)，b＞0，且abc（a+b+c）=1，即ac（ab+b²+bc）=1，變形（a+b）（b+c）=ac+（ab+b²+bc），利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵a，c為正整數(shù)，b＞0，且abc（a+b+c）=1，即ac（ab+b²+bc）=1，
∴（a+b）（b+c）=ac+（ab+b²+bc）≥$2\sqrt{ac•（ab+^{2}+bc）}$，當且僅當ac=ab+b²+bc時取等號，
當a=c=1時，ab+b²+bc=b+b²+b=1，b＞0，解得b=$\sqrt{2}$-1，
因此（a+b）（b+c）的最小值為2．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．