2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＜0}\\{（a-2）x+3a，x≥0}\end{array}\right.$滿足對任意的x1≠x2，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{3}$]．

分析 由已知可得：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＜0}\\{（a-2）x+3a，x≥0}\end{array}\right.$在R上為減函數(shù)，進(jìn)而$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ a-2＜0\\ 1≥3a\end{array}\right.$，解得a的取值范圍．

解答 解：對任意的x1≠x2，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
則函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＜0}\\{（a-2）x+3a，x≥0}\end{array}\right.$在R上為減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ a-2＜0\\ 1≥3a\end{array}\right.$，
解得a∈（0，$\frac{1}{3}$]，
故答案為：（0，$\frac{1}{3}$]

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，正確理解分段函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵．

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