已知橢圓C1,拋物線C2:(y-m2=2pxp>0),且C1、C2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn).

(1)當(dāng)ABx軸時(shí),求m、p的值,并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上;

(2)是否存在m、p的值,使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上?若存在.求出符合條件的m、p的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(1)當(dāng)ABx軸時(shí),點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱,所以m=0,直線AB的方程x=1,從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,)或(1,).?

因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上,所以=2p,即p=.此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0).該焦點(diǎn)不在直線AB上.?

(2)解法一:假設(shè)存在m、p的值使C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上,由(1)知直線AB的斜率存在,故可設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1).?

消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.                    ①?

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2y2),則x1x2是方程①的兩根,x1+x2=

消去y得(kx-k-m2=2px.         ②?

因?yàn)?I >C2的焦點(diǎn)F′(,m)在y=k(x-1)上,?

所以m=k(-1),即m+k=,?

代入②有(kx-) 2=2px,?

k2x2-p(k2+2)x+.                          ③?

由于x1、x2也是方程③的兩根,?

所以x1+x2=,?

從而p=.      ④?

AB過(guò)C1、C2的焦點(diǎn),?

所以|AB|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=(2-x1)+(2-x2).?

p=4-(x1+x2)=.             ⑤?

由④⑤得,

k4-5k2-6=0,解得k2=6,于是k,p=.?

因?yàn)?I >C2的焦點(diǎn)F,m)在直線y(x-1)上,?

所以m(-1),即m=m=-,由上知,滿足條件的m、p存在,且m=m=-,p=.?

解法二:設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),?

因?yàn)?I >AB既過(guò)C1的右焦點(diǎn)F(1,0),又過(guò)C2的焦點(diǎn)F′(,m)?

所以|AB|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=(2-x1)+(2-x2).?

x1+x2=(4-p).                         ①?

由(1)知x1x2,p≠2,于是直線AB的斜率?

k=,                 ②?

且直線AB的方程是y= (x-1),?

所以y1+y2= (x1+x2-2)=.      ③?

又因?yàn)?SUB>

所以3(x1+x2)+4(y1+y2=0.         ④?

將①②③代入④得m2=.     ⑤?

因?yàn)?SUB>?

所以y1+y2-2m=2p,                   ⑥?

將②③代入⑥得m2=.             ⑦?

由⑤⑦得.?

即3p2+20p-32=0.?

解得p=p=-8(舍去)?

p=代入⑤得m2=,所以m=m=-,?

由上知,滿足條件的m、p存在,且m=m=-.p=.

點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓、雙曲線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí),考查運(yùn)算、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.

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