Question

15．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，0），B（0，1）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程并求其離心率；
（2）斜率為1的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，M是直線l與x軸的交點(diǎn)，且有$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MQ}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)：橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，0），B（0，1），可得a，b，c．即可得出．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=x-m，則M（m，0），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得：3x²-4mx+2m²-2=0，△＞0，解得m范圍．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MQ}$，即可解出m．

解答 解：（1）由題意可設(shè)：橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，0），B（0，1），
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=x-m，則M（m，0），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：3x²-4mx+2m²-2=0，
△=16m²-12（2m²-2）＞0，解得m²＜3．
∴x₁+x₂=$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．（*）
∵$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MQ}$，
∴m-x₁=$\frac{1}{3}（{x}_{2}-m）$，
與（*）聯(lián)立解得：m²=1，解得m=±1，滿足△＞0．
∴直線l的方程為y=x±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．