Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-2|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≤14的解集；
（2）若f（x）≥a²對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先將不等式等價(jià)為：|x-2|≤7，再直接去絕對(duì)值求解；
（2）先用絕對(duì)值三角不等式將問(wèn)題等價(jià)為：f（x）_min=|a-2|≥a²，再分類討論求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）≤14即為，|x-2|+|x-2|≤14，
所以，|x-2|≤7，不等式等價(jià)為：-7≤x-2≤7，
解得，-5≤x≤9，
故原不等式的解集為：{x|-5≤x≤9}；
（2）因?yàn)椴坏仁絝（x）≥a²對(duì)x∈R恒成立，
所以，f（x）_min≥a²，
根據(jù)絕對(duì)值三角不等式，|x-a|+|x-2|≥|（x-a）-（x-2）|=|a-2|，
即f（x）_min=|a-2|，所以，|a-2|≥a²，分類討論如下：
①當(dāng)a≥2時(shí)，a-2≥a²，無(wú)解；
②當(dāng)a＜2時(shí)，2-a≥a²，解得a∈[-2，1]，
綜合以上討論得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[-2，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用和不等式恒成立問(wèn)題的求解，體現(xiàn)了分類討論的解題思想，屬于中檔題．