3．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-4x+3，\;\;x≤0\\-{x^2}-2x+3，\;\;x＞0\end{array}\right.$，當x∈[a，a+1]時不等式f（x+a）≥f（2a-x）恒成立，則實數(shù)a的最大值是-2．

分析 根據(jù)分段函數(shù)，討論其單調性，根據(jù)單調性得出a≥2x在x∈[a，a+1]時恒成立，只需求出右式的最大值即可．

解答 解：二次函數(shù)x2-4x+3的對稱軸是x=2；
∴該函數(shù)在（-∞，0]上單調遞減；
∴x2-4x+3≥3；
同樣可知函數(shù)-x2-2x+3在（0，+∞）上單調遞減；
∴-x2-2x+3＜3；
∴f（x）在R上單調遞減；
∴x+a≤2a-x恒成立，
∴a≥2x在x∈[a，a+1]時恒成立，
∴a≤-2，
故答案為-2．

點評 考查了分段函數(shù)的單調性判斷和恒成立問題的轉換．

練習冊系列答案
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