Question

12．在△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{m}$=（cosB，-sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosC，sinC）．
（1）求$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的大�。�
（2）若a、b、c為角A、B、C的對(duì)邊，a=2，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求b的長．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合和角的余弦公式，即可求$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的大��；
（2）求出sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，利用正弦定理，即可求b的長．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（cosB，-sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosC，sinC），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=-cosA=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵a=2，A=$\frac{π}{3}$，
∴由正弦定理可得b=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積公式，和角的余弦公式，考查正弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．