Question

2．已知四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{BC}$|=2，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$=0，則|$\overrightarrow{BD}$|的最大值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 如圖所示，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四邊形ABCD內(nèi)接于圓O．可得|$\overrightarrow{BD}$|的最大值為直徑AC．

解答 解：如圖所示，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$=0，
∴AB⊥BC，AD⊥DC．
∴四邊形ABCD內(nèi)接于圓O．
可得⊙O的直徑AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
則|$\overrightarrow{BD}$|的最大值為直徑$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了圓的內(nèi)接四邊形、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．