Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC=3

3

，E是PC的中點．
（Ⅰ）求證：PD⊥面ABE；
（Ⅱ）在線段PD上存在點F，使得CF∥面PAB，試確定點F的位置，并求棱錐D-ACF的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,平面與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明PD⊥面ABE，關鍵是證明AB⊥PD，AE⊥PD；
（Ⅱ）在底面ABCD中過點C作CM∥AB交AD與點M，在△PAD中過點M作MF∥PA交PD于點F，連接CF，利用面面平行，可得在線段PD上存在點F滿足DF=

1

4

DP，使CF∥面PAB；利用VD-ACF=VF-ACD=

1

3

S△ACD•hF=

1

12

S△ACD•PA，可求棱錐D-ACF的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥CD
又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD  …（2分）
又AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，∴CD⊥AE  …（3分）
∵PA=AB=BC=AC，E是PC的中點，
∴AE⊥PC，
∵CD∩PC=C，
∴AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD         …（4分）
∵AB∩AE=A，
∴PD⊥面ABE…（5分）
（Ⅱ）解：在底面ABCD中過點C作CM∥AB交AD與點M，在△PAD中過點M作MF∥PA交PD于點F，
連接CF，∴面CMF∥面PAB，∴CF∥面PAB…（7分）
在底面ABCD中，∠CAD=30°，∠ACD=90°，CM⊥AD，故DM=

1

2

CD=

1

4

DA，∴DF=

1

4

DP…（8分）
∴在線段PD上存在點F滿足DF=

1

4

DP，使CF∥面PAB…（9分）
因此，點F是線段DP靠近點D的一個四等分點，則VD-ACF=VF-ACD=

1

3

S△ACD•hF=

1

12

S△ACD•PA…（10分）
∵△ABC中，AB=BC=3

3

且∠ABC=60°，∴AC=3

3

又在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∠ACD=90°，AC=3

3

，則DC=3，…（11分）
∴S△ACD=

1

2

AC•CD=

9 3

2

，則VD-ACF=VF-ACD=

1

12

S△ACD•PA=

1

12

×

9 3

2

×3

3

=

27

8

…（12分）

點評：本題主要考查了線面垂直的判定、以及線面平行的判定，同時考查了空間想象能力，推理論證能力，屬于中檔題．