5.某人居住在城鎮(zhèn)的A處,準(zhǔn)備開車到單位B處上班,若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的,且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如A→C→D算兩個(gè)路段:設(shè)路段AC發(fā)生堵車事件的概率為$\frac{1}{10}$,路段CD發(fā)生堵車事件的概率為$\frac{1}{15}$).
(1)請(qǐng)你為其選擇一條由A到B的路線,使得途中發(fā)生堵車事件的概率最;
(2)若記路線A→C→F→B中遇到堵車的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ).

分析 (1)記路段MN發(fā)生堵車事件為MN,根據(jù)各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的,且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P1=1-P($\overline{AB}$•$\overline{CD}$•$\overline{DB}$),同理得路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P2=
1-P($\overline{AC}$•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$),路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P3=1-P($\overline{AE}$•$\overline{EF}$•$\overline{FB}$),然后比較即可;
(2)路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)ξ可取值為0,1,2,3,然后利用互斥事件與對(duì)立事件的公式分別求出相應(yīng)的概率,最后利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可.

解答 解:(1)記路段MN發(fā)生堵車事件為MN.
因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的,且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,
所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P1=1-P($\overline{AC}$•$\overline{CD}$•$\overline{DB}$)=1-P($\overline{AC}$)•P($\overline{CD}$)•P ($\overline{DB}$)
=1-[1-P(AC)][1-P(CD)][1-P(DB)]=1-$\frac{9}{10}$$•\frac{14}{15}•\frac{5}{6}=\frac{3}{10}$,
同理:路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P2=1-P($\overrightarrow{AC}•\overline{EF}•\overline{FB}$)=$\frac{239}{800}$(小于$\frac{3}{10}$),
路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P3=1-P($\overline{AE}$•$\overline{EF}$•$\overline{FB}$)=$\frac{91}{300}$(大于$\frac{3}{10}$)
要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小,只可能在以上三條路線中選擇.
因此選擇路線A→C→F→B,可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小.
(2)路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)ξ可取值為0,1,2,3.
P(ξ=0)=P($\overline{AC}$•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$)=$\frac{561}{800}$,
P(ξ=1)=P(AC•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$)+P($\overline{AC}$•CF•$\overline{FB}$)+P($\overline{AC}$•$\overline{CF}$•FB)=$\frac{1}{10}$×$\frac{17}{20}$×$\frac{11}{12}$+$\frac{9}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{11}{12}$+$\frac{9}{10}$×$\frac{17}{20}$×$\frac{1}{12}$=$\frac{637}{2400}$,
P(ξ=2)=P(AC•CF•$\overline{FB}$)+P(AC•$\overline{CF}$•FB)+P($\overline{AC}$•CF•FB)=$\frac{1}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{11}{12}$+$\frac{1}{10}$×$\frac{17}{20}$×$\frac{1}{12}$+$\frac{9}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{1}{12}$=$\frac{77}{2400}$,
P(ξ=3)=P($\overline{AC}$•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$)=$\frac{1}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2400}$.
∴Eξ=0×$\frac{561}{800}$+1×$\frac{637}{2400}$+2×$\frac{77}{2400}$+3×$\frac{3}{2400}$=$\frac{1}{3}$.
∴路線A→C→FB中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為$\frac{1}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,以及對(duì)立事件和離散型隨機(jī)變量的期望,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.

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