Question

12．函數(shù)$f（x）={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且$f（A）=\frac{3}{2}，a=2$，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，利用周期公式即可求得最小正周期．
（2）由三角形面積公式可得${S_△}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，由$f（A）=\frac{3}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），可得$A=\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：b²+c²=4+bc，利用基本不等式可得bc≤4，即可求得△ABC的面積的最大值．

解答 解：（1）∵$f（x）={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx=\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x=sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）${S_△}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，
由$f（A）=\frac{3}{2}$=sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，可得：sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
由A∈（0，π），2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），即可得：2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，得到$A=\frac{π}{3}$，
所以由余弦定理可得：cosA=$\frac{1}{2}=\frac{{{b^2}+{c^2}-4}}{2bc}$，解得：c²+b²-4=bc，
所以，b²+c²=4+bc，由于b²+c²≥2bc，所以4+bc≥2bc
解得bc≤4，b=c=2取等號，所以△ABC的面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，三角形面積公式，余弦定理，基本不等式及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．