Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x-3|．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若任意x，y∈R，不等式f（x）＞m（|y+1|-|y-1|）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)討論x的范圍，求出f（x）的最小值即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$\frac{5}{2}$＞m（|y+1|-|y-1|）對(duì)任意的y∈R恒成立，設(shè)t=|y+1|-|y-1|，求出t的范圍，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+4，x＜\frac{1}{2}}\\{x+2，\frac{1}{2}≤x＜3}\\{3x-4，x≥3}\end{array}\right.$，
∴f（x）的最小值是$\frac{5}{2}$；
（Ⅱ）若任意x，y∈R，不等式f（x）＞m（|y+1|-|y-1|）恒成立，
由題意得：$\frac{5}{2}$＞m（|y+1|-|y-1|）對(duì)任意的y∈R恒成立，
設(shè)t=|y+1|-|y-1|，|t|=||y+1|-|y-1||≤2，
∴-2≤t≤2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}＞-2m}\\{\frac{5}{2}＞2m}\end{array}\right.$，解得m∈（-$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想，是一道中檔題．