Question

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BDF．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理易證BD⊥平面PAC，于是有PA⊥BD，再利用線面垂直的判定定理即可證得AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）依題意知，DF∥AP，而AP⊥DE，于是可得DF⊥DE，即平面BDE與平面BDF的二面角為直角，從而可證平面BDE⊥平面BDF．

解答： 解：（Ⅰ）∵PC⊥底面ABC，BD?底面ABC，
∴PC⊥BD；
又AB=BC，D為AC的中點，
∴BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥平面PAC，PA?平面PAC，
∴PA⊥BD，又DE⊥AP，BD∩DE=E，
∴AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）由AP⊥平面BDE知，AP⊥DE；又D、F分別為AC、PC的中點，
∴DF是△PAC的中位線，∴DF∥AP，∴DF⊥DE，即∠EDF=90°，
由BD⊥平面PAC可知，DE⊥BD，DF⊥BD，∠EDF為平面BDE與平面BDF的二面角，又∠EDF=90°，
∴平面BDE⊥平面BDF．

點評：本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應用，考查面面垂直的定義的應用，考查推理與證明的能力，屬于中檔題．