Question

設(shè)命題p：直線x=y與圓（x-a）²+y²=2有公共點，命題q：函數(shù)f（x）=(

1

2

)|x|-a的圖象與x軸有交點，試判斷命題p與命題q的條件關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)直線與圓有公共點，用圓心到直線的距離小于圓的半徑得出a的范圍，再根據(jù)函數(shù)f（x）=(

1

2

)|x|-a的圖象與x軸有交點求出a的范圍，看前后推出的a的范圍之間的關(guān)系．

解答： 解：命題P：直線x-y=0與圓（x-a）²+y²=2有公共點，則

|a-0|

1+1

≤

2

，所以-2≤a≤2．
命題q：函數(shù)f（x）=(

1

2

)|x|-a的圖象與x軸有交點，等價于a=(

1

2

)|x|有解．
∵|x|≥0，所以0＜(

1

2

)|x|≤1，因此0＜a≤1．
由0＜a≤1⇒-2≤a≤2，反之不成立，
所以命題q⇒命題p，但命題p不能推出命題q，所以命題q是命題p的充分不必要條件．

點評：本題考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，判斷充要條件的方法是：
①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．
⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．