Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）≥0恒成立，求證：a=1
（3）若a＜0，且h（x）=f（x）+

4

x

在（0，1]上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，建立等式關(guān)系即可求出a的值；
（2）討論a的符號使f（x）≥0恒成立，求出a的值即可；
（3）求導(dǎo)數(shù)，分離參數(shù)求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： （1）解：∵f'（x）=1-

a

x

，∴f'（1）=1-a
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率為1-a
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，
∴1-a=3，解得a=-2．
（2）證明：f'（x）=1-

a

x

，其中x＞0
（i）當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
而f（1）=0，所以當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＜0，與f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不滿足題意．
（ii）當(dāng)a＞0時，∵x＞a時，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)；
0＜x＜a時，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，a）上是減函數(shù)；
∴f（x）≥f（a）=a-1-alna
∵f（1）=0，∴當(dāng)a≠1時，f（a）＜f（1）=0，此時與f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1
（3）解：∵h′（x）=

x2-ax-4

x2

，h（x）=f（x）+

4

x

在（0，1]上為減函數(shù)，
∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
∴a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，
∵y=x-

4

x

在（0，1]上是增函數(shù)，
∴y=x-

4

x

的最大值為-3，
∴a≥-3，
∵a＜0，
∴-3≤a＜0．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題的應(yīng)用，同時考查了計算能力，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．