Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，側棱PD⊥底面ABCD，∠BCD=60°．
（I）若點F，E分別在線段AP，BC上，AF=2FP，BE=2EC．求證：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）問在線段AB上，是否存在點Q，使得平面PAB⊥平面PDQ，若存在，求出點Q的位置；否則，說明理由．

Answer 1

分析 （1）在AD上取點G，使AG=2DG，連結EG、FG，推導出平面EFG∥平面CPD，由此能證明EF∥平面PDC．
（2）取AB中點Q，連結DQ，PQ，推導出平面PDC⊥平面PDQ，從而在線段AB上，不存在點Q，使得平面PAB⊥平面PDQ．

解答 證明：（1）在AD取點G，使AG=2DG，連結EG、FG
∵F，E分別在線段AP，BC上，AF=2FP，BE=2EC，
∴FG∥PD，EG∥CD，
∵FG∩EG=G，PD∩CD=D，
FG、EG?平面EGF，PD、DC?平面PDC，
∴平面EFG∥平面CPD，
∵EF?平面EFG，∴EF∥平面PDC．
（2）在線段AB上，不存在點Q，使得平面PAB⊥平面PDQ．
理由如下：
取AB中點Q，連結DQ，PQ，
∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，側棱PD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，
∴DQ⊥CD，DQ⊥AB，DQ⊥PD，
∵PD∩CD=D，∴DQ⊥平面PDC，
∵DQ?平面PDQ，∴平面PDC⊥平面PDQ，
∵PAB與平面PDC相交，
∴在線段AB上，不存在點Q，使得平面PAB⊥平面PDQ．

點評 本題考查線面平行的證明，查滿足面面垂直的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．