Question

2．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$）的圖象與直線y=1的交點中，相鄰兩個交點距離的最小值為$\frac{π}{3}$，且$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$對任意實數(shù)x恒成立，則φ=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由題意，函數(shù)f（x）圖象與直線y=1的交點中，相鄰兩個交點距離的最小值為$\frac{π}{3}$，即|x₂-x₁|=$\frac{π}{3}$．可得ω=2．那么f（x）=2sin（2x+φ）；$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$對任意實數(shù)x恒成立，可得x=$\frac{π}{12}$時，可得最大值．即可求出φ．

解答 解：由題意，函數(shù)f（x）圖象與直線y=1的交點中，
相鄰兩個交點距離的最小值為$\frac{π}{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2sin（ωx+φ）}\\{y=1}\end{array}\right.$可得sin（ωx+φ）=$\frac{1}{2}$．
令ωx₁+φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，
ωx₂+φ=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z．
則|x₂-x₁|=$\frac{π}{3}$．
可得ω=2．
那么f（x）=2sin（2x+φ）；
∵$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$對任意實數(shù)x恒成立，可得x=$\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值．
即2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
∵|φ|$＜\frac{π}{2}$．
可得：φ=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用．屬于中檔題．