Question

17．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x-3．
（1）求f（3）+f（-1）的值；
（2）求f（x）在R上的解析式；
（3）畫出函數(shù)f（x）的圖象，并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的解析式，通過(guò)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，化簡(jiǎn)求解即可．
（2）求出當(dāng)x＜0，時(shí)的函數(shù)的解析式f（x）=x+3，然后求解函數(shù)的解析式即可．
（3）利用函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象即可．

解答 解：（1）因?yàn)?＞0，所以f（3）=3-3=0，
又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-1）=-f（1）=-（1-3）=2，
故f（3）+f（-1）=0+2=2．
（2）由題意，當(dāng)x＜0，即-x＞0時(shí)，則f（-x）=-x-3，
又f（-x）=-f（x），所以f（x）=x+3，
故所求函數(shù)f（x）在R上的解析式為$f（x）=x\left\{\begin{array}{l}x-3，x＞0\\ 0，x=0\\ x+3，x＜0\end{array}\right.$．
（3）圖象如圖所示．

由圖可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象以及函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．