Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=-x²+bx-10（b＞0），且直線y=4x-4是曲線y=g（x）的一條切線．
（1）求b的值；
（2）求與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切的直線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)在切線上和曲線上，聯(lián)立方程組求得b；
（2）設(shè)出切線方程y=kx+m，聯(lián)立切線方程和拋物線方程，得到x的方程，由判別式為0求解方程可得到k，m，則切線方程可求．

解答 解：（1）g（x）=-x²+bx-10的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-2x+b，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則切線的斜率為b-2m=4，
又n=4m-6，n=-m²+bm-10，
解得b=0或8；
（2）設(shè)與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切的直線方程為y=kx+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，可得x²-kx-m=0，由相切的條件可得k²+4m=0，①
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=-{x}^{2}-10}\end{array}\right.$，可得x²+kx+10+m=0，由相切的條件可得k²-4（10+m）=0，②
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=-{x}^{2}+8x-10}\end{array}\right.$，可得x²+（k-8）x+10+m=0，由相切的條件可得（k-8）²-4（10+m）=0，③
由①②解得：k=±2$\sqrt{5}$，m=-5；
由①③解得：k=2，m=-1或k=6，m=-9．
當(dāng)k不存在時(shí)，顯然不成立．
則與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切的直線方程為：
y=±2$\sqrt{5}$x-5或y=2x-1或y=6x-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線與拋物線相切的條件，是中檔題．