Question

已知點(diǎn)A（1，2），B（

1

2

，

5

2

）是函數(shù)f（x）=

ax2+b

x

的圖象上的兩點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式并寫出定義域；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上的單調(diào)性，并用定義法加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式列出方程，求出a、b的值，代入解析式化簡(jiǎn)后求出函數(shù)的定義域；
（2）先對(duì)解析式化簡(jiǎn)并判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，利用單調(diào)性的定義的步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，2），B（

1

2

，

5

2

）是函數(shù)f（x）的圖象上的兩點(diǎn)．
所以

2=a+b 5 2 = 1 4 a+b 1 2

，解得a=b=1，
所以f(x)=

x2+1

x

，函數(shù)的定義域是{x|x≠0}；
證明：（2）由（1）得，f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上是增函數(shù)，
任取x₁、x₂∈（-∞，-1），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=（x₁-x₂）+

1

x1

-

1

x2

=x₁-x₂+

x2-x1

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
因?yàn)閤₁、x₂∈（-∞，-1），且x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，則

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及利用單調(diào)性的定義的步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論證明．