Question

3．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項．

Answer 1

分析 （1）將3a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0，兩邊同除以a_na_n+1，整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）先求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通項公式，再求a_n

解答 （1）證明：將3a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0，兩邊同除以a_na_n+1
整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）解：∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的判定、通項公式求解．考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、計算能力．