Question

18．已知雙曲線C與雙曲線$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=1有相同的漸近線，且C的一個(gè)頂點(diǎn)為（1，0），C的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，在曲線C上有一點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，求點(diǎn)M到x軸的距離．

Answer 1

分析 求出雙曲線的方程，由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0得MF₁⊥MF₂，可知點(diǎn)M在以F₁F₂為直徑的圓x²+y²=3上，由此可以推導(dǎo)出點(diǎn)M到x軸的距離．

解答 解：∵雙曲線C與雙曲線$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=1有相同的漸近線，
∴設(shè)雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=λ，
∵C的一個(gè)頂點(diǎn)為（1，0），
∴λ=-1，
∴雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）．
又∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，
∴MF₁⊥MF₂，∴點(diǎn)M在以F₁F₂為直徑的圓x²+y²=3上
故與x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1聯(lián)立得|y|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴點(diǎn)M到x軸的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．