【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx(ω>0),f(x)的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為 .
(1)求f( )的值;
(2)將f(x)的圖象上所有點向左平移m(m>0)個長度單位,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,若y=g(x)圖象的一個對稱中心為( ,0),當(dāng)m取得最小值時,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】
(1)解:由題意可得:f(x)=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx
=﹣(cos2ωx﹣sin2ωx)+ sin2ωx
= sin2ωx﹣cos2ωx
=2sin(2ωx﹣ )
∵f(x)的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為 .
∴周期T= ,由 = ,可得ω=2.
∴f(x)=2sin(4x﹣ ),
∴f( )=2sin(4× ﹣ )=2sin =1
(2)解:由(1)可知f(x)=2sin(4x﹣ ),則g(x)=2sin(4x+4m﹣ ),
∵( ,0)為y=g(x)圖象的一個對稱中心,
∴2sin(4× +4m﹣ )=0,解得:4× +4m﹣ =kπ(k∈Z),可得:m= ﹣ ,
當(dāng)k=1時,m取得最小值
此時g(x)=2sin(4x+ ),
由2k ≤4x+ ≤2k ,k∈Z,解得g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:[ ﹣ , + ],k∈Z
【解析】(1)由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求函數(shù)解析式f(x)=2sin(2ωx﹣ ),由題意可求周期T= ,由周期公式可求ω,從而可得函數(shù)解析式,進而得解.(2)由(1)可求g(x)=2sin(4x+4m﹣ ),由題意可得4× +4m﹣ =kπ(k∈Z),可得:m= ﹣ ,可求m的最小值,由2k ≤4x+ ≤2k ,k∈Z,解得g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,M、N、P分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的點.
(1)若,求證:無論點P在DD1上如何移動,總有BP⊥MN;
(2)棱DD1上是否存在這樣的點P,使得平面APC1⊥平面ACC1?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0 , 則稱點(x0 , f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)g(x)=2x3﹣3x2+ ,則g( )+g( )+…+g( )=( )
A.100
B.50
C.
D.0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x+ |(a>0)
(1)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)>3的解集;
(2)證明: .
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【題目】某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為了研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:,,,,,分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)“25周歲以上組”的頻率分布直方圖,求25周歲以上組工人日平均生產(chǎn)件數(shù)的中位數(shù)的估計值(四舍五入保留整數(shù));
(2)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人,求至多抽到一名“25周歲以下組”工人的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ= .
(1)寫出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程.
(2)若點P是曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值,并求出此時點P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點為,直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直于點,線段的垂直平分線與的交點的軌跡為曲線,若,且是曲線上不同的點,滿足,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市8所中學(xué)生參加比賽的得分用莖葉圖表示(如圖)其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù),則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是( )
A.91 5.5
B.91 5
C.92 5.5
D.92 5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的參數(shù)方程是 (θ為參數(shù)),曲線C與l的交點的極坐標(biāo)為(2, )和(2, ),
(1)求直線l的普通方程;
(2)設(shè)P點為曲線C上的任意一點,求P點到直線l的距離的最大值.
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