Question

5．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2sin\frac{π}{2}x，0≤x≤1}\\{{{（\frac{1}{2}）}^x}+\frac{3}{2}，x＞1}\end{array}}\right.$，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a，b∈R），有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（-4，-\frac{3}{2}）$
• B． $（-4，-\frac{7}{2}）$
• C． $（-\frac{7}{2}，-\frac{3}{2}）$
• D． $（-4，-\frac{7}{2}）∪（-\frac{7}{2}，-\frac{3}{2}）$

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，結(jié)合圖象，得（-∞，-1），（0，1）是增區(qū)間，（-1，0），（1，+∞）是減區(qū)間，當(dāng)x=±1時(shí)，f（x）取最大值是2，；當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取最小值是0，y=$\frac{3}{2}$是部分圖象的漸近線．設(shè)t=f（x），由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2sin\frac{π}{2}x，0≤x≤1}\\{{{（\frac{1}{2}）}^x}+\frac{3}{2}，x＞1}\end{array}}\right.$
∴f（x）的圖象如圖所示，
結(jié)合圖象，得（-∞，-1），（0，1）是增區(qū)間，（-1，0），（1，+∞）是減區(qū)間，
當(dāng)x=±1時(shí)，f（x）取最大值是2，；
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取最小值是0，
$y=\frac{3}{2}$是部分圖象的漸近線．
設(shè)t=f（x），依題意，符合題意有兩種情況：
①t₁=2，${t_2}∈（\frac{3}{2}，2）$，此時(shí)$-a={t_1}+{t_2}∈（\frac{7}{2}，4）$，則$a∈（-4，-\frac{7}{2}）$；
②${t_1}∈（0，\frac{3}{2}]$，${t_2}∈（\frac{3}{2}，2）$，此時(shí)$-a={t_1}+{t_2}∈（\frac{3}{2}，\frac{7}{2}）$，則$a∈（-\frac{7}{2}，-\frac{3}{2}）$；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是$a∈（-4，-\frac{7}{2}）∪（-\frac{7}{2}，-\frac{3}{2}）$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的圖象、性質(zhì)的合理運(yùn)用．