對于函數(shù)f(x)=cos2(x-
π
12
)+sin2(x+
π
12
)-1
,下列選項中正確的是( 。
A、f(x)在(
π
4
,
π
2
)
內是遞增的
B、f(x)的圖象關于原點對稱
C、f(x)的最小正周期為2π
D、f(x)的最大值為1
考點:二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調性,正弦函數(shù)的對稱性
專題:三角函數(shù)的圖像與性質
分析:函數(shù)f(x)解析式前兩項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,整理后得到一個角的正弦函數(shù),利用正弦函數(shù)的單調性,對稱性,周期性,以及值域,即可做出判斷.
解答: 解:函數(shù)f(x)=
1
2
[1+cos(2x-
π
6
)+1-cos(2x+
π
6
)]-1
=
1
2
3
2
cos2x+
1
2
sin2x-
3
2
cos2x+
1
2
sin2x)
=
1
2
sin2x,
令-
π
2
+2kπ≤2x≤
π
2
+2kπ,k∈Z,得到-
π
4
+kπ≤x≤
π
4
+kπ,k∈Z,
∴f(x)的遞增區(qū)間為[-
π
4
+kπ,
π
4
+kπ],k∈Z,
當x∈(
π
4
,
π
2
)時,2x∈(
π
2
,π),此時函數(shù)為減函數(shù),選項A錯誤;
當x=0時,f(x)=0,且正弦函數(shù)關于原點對稱,選項B正確;
∵ω=2,∴最小正周期T=
3
=π,選項C錯誤;
∵-1≤sin2x≤1,
∴f(x)=
1
2
sin2x的最大值為
1
2
,選項D錯誤,
故選:B.
點評:此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調性,以及正弦函數(shù)的對稱性,熟練掌握公式是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,過圓E外一點A作一條直線與圓E交于B,C兩點,且AB=
1
3
AC
,作直線AF與圓E相切于點F,連結EF交BC于點D,已知圓E的半徑為2,∠EBC=30°
(1)求AF的長;
(2)求證:AD=3ED.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給出下列五個命題:
①若一條直線與一個平面內的一條直線平行,則這條直線與這個平面平行;
②若一條直線與一個平面內的兩條直線平行,則這條直線與這個平面平行;
③若平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行;
④若兩條平行直線中的一條與一個平面平行,則另一條也與這個平面平行;
⑤若一條直線與一個平面平行,則這條直線與這個平面內的無數(shù)多條直線平行.
其中正確命題的序號是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,PC是圓O的切線,切點為C,直線PA與圓O交于A、B兩點,∠APC的平分線分別交弦CA,CB于D,E兩點,已知PC=3,PB=2,則
PE
PD
的值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,已知圓C與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點,且與直線x-y-3=0相切,則圓C的半徑為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且x∈(0,2)時,f(x)=2x,則f(-1)=( 。
A、2
B、-2
C、
1
2
D、-
1
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在正方體AC1中,E、F分別是AB和AA1的中點,則下列命題:
①E、C、D1、F四點共面;  
②CE、D1F、DA三線共點;
③EF和BD1所成的角為45°;
④A1B∥平面CD1E;
⑤B1D⊥平面CD1E.
其中,正確的個數(shù)是( 。
A、2 個B、3個
C、4個D、5個

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,設向量
OA
=(3,1),
OB
=(1,3),若
OC
OA
OB
,且λ≥μ≥1,則用陰影表示C點所有可能的位置區(qū)域正確的是( 。
A、
B、
C、
D、

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcos(x+
π
3
)+
3
4

(Ⅰ)當x∈[-
π
3
,
π
6
]時,求函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅱ)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移
π
3
個單位后,再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="lphynet" class="MathJye">
1
2
倍,縱坐標保持不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的表達式及對稱軸方程.

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