【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2=2px（p＞0）上一點P（ ，m）到準線的距離與到原點O的距離相等，拋物線的焦點為F．
（1）求拋物線的方程；
（2）若A為拋物線上一點（異于原點O），點A處的切線交x軸于點B，過A作準線的垂線，垂足為點E．試判斷四邊形AEBF的形狀，并證明你的結(jié)論．

【答案】
（1）解：拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F（ ，0），準線方程為x=﹣ ，

由題意點 到準線的距離為|PO|，

由拋物線的定義，可得點P到準線的距離為|PF|，

即有|PO|=|PF|，即點 在線段OF的中垂線上，

則 = ，解得p=3，則拋物線的方程為y2=6x


（2）解：四邊形AEBF為菱形．

證明：拋物線y2=6x的焦點為F（ ，0），準線方程為x=﹣ ，

由拋物線的對稱性，設(shè)點 在x軸的上方，

由y2=6x，兩邊對x求導(dǎo)可得，2yy′=6，即y′= ，

可得點A處的切線的斜率為 ，

則點A處切線的方程為 ，

令上式中y=0，得 ，

可得點B的坐標為 ，又 ，

所以 ，

所以 ，所以FA∥BE，又AE∥FB，

故四邊形AEBF為平行四邊形，

再由拋物線的定義，得AF=AE，

所以四邊形AEBF為菱形．


【解析】（1）求得拋物線的焦點坐標和準線方程，運用拋物線的定義可得點 在線段OF的中垂線上，可得p=3，進而得到拋物線的方程；（2）四邊形AEBF為菱形．由拋物線的對稱性，設(shè)點 在x軸的上方，求出拋物線的切線的斜率和切線的方程，令y=0，求得B的坐標，E，F(xiàn)的坐標，由向量相等即可得到四邊形的形狀．

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（2）設(shè)b=a2+2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值；
（3）定義：一般的，設(shè)函數(shù)g（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，則稱x0為函數(shù)g（x）的不動點．設(shè)a＞0，試問當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個不同的不動點時，這兩個不動點能否同時也是函數(shù)f（x）的極值點？

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(1)求C1,C2的方程;

(2)求證:MA⊥MB;

(3)記△MAB,△MDE的面積分別為S1,S2,若,求λ的取值范圍.

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【題目】PM2.5(單位:μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個值越高,空氣污染越嚴重.PM2.5的濃度與空氣質(zhì)量類別的關(guān)系如下表所示:

從甲城市2016年9月份的30天中隨機抽取15天,這15天的PM2.5的日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示.

(1)試估計甲城市在2016年9月份的30天中,空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù);

(2)從甲城市的這15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個,設(shè)X是空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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