Question

3．已知集合A的元素是由方程（a²-1）x²+2（a+1）x+1=0的實(shí)數(shù)解構(gòu)成．
（1）若A為空集，求a的取值范圍；
（2）若A是單元素集，求a的值；
（3）若A中至多只有一個(gè)元素，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類(lèi)討論：a²-1=0時(shí)，解出之間驗(yàn)證即可判斷出；a²-1≠0時(shí)，A為空集，可得△＜0，解出即可得出．
（2）由（1）可知：a=1時(shí)，A={-$\frac{1}{4}$}滿(mǎn)足條件．a(chǎn)²-1≠0時(shí)，由△=0，解得a的范圍即可判斷出結(jié)論．
（3）由（1）（2）可知：a的取值范圍．

解答 解：（1）a²-1=0時(shí)，解得a=±1．a(chǎn)=1時(shí)，方程化為：4x+1=0，解得a=-$\frac{1}{4}$，A={-$\frac{1}{4}$}≠∅，舍去．
a=-1時(shí)，方程化為：0+0+1=0，解得x∈∅，A=∅，因此a=-1滿(mǎn)足條件．
a²-1≠0時(shí)，A為空集，∴△=4（a+1）²-4（a²-1）＜0，解得：a＜-1．∴a的取值范圍是（-∞，-1]．
（2）由（1）可知：a=1時(shí)，A={-$\frac{1}{4}$}滿(mǎn)足條件．a(chǎn)²-1≠0時(shí)，由△=4（a+1）²-4（a²-1）=0，解得：a=-1，而此時(shí)A=∅，舍去．
綜上可得：a的取值范圍是{1}．
（3）由（1）（2）可知：a的取值范圍是（-∞，-1]∪{1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了元素與集合之間的關(guān)系、不等式解法，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．