Question

13．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點$A（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，且短軸兩個頂點與一個焦點恰好為直角三角形．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在以原點為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點P，Q，且$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意得：$a=\sqrt{2}b$，$\frac{1}{2^{2}}+\frac{3}{4^{2}}$=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）假設滿足條件的圓存在，其方程為：x²+y²=r²（0＜r＜1），設直線方程為y=kx+m，二者聯立，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韋達定理、向量垂直、直線與圓相切，結合已知能求出存在圓心在原點的圓滿足題意．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點$A（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，且短軸兩個頂點與一個焦點恰好為直角三角形，
∴由題意得：$a=\sqrt{2}b$，$\frac{1}{2^{2}}+\frac{3}{4^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（2）假設滿足條件的圓存在，其方程為：x²+y²=r²（0＜r＜1）
當直線P，Q的斜率存在時，設直線方程為y=kx+m，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有：${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$…（8分）
∵$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，∴${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0⇒（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=0$．
∴$\frac{{（1+{k^2}）（2{m^2}-2）}}{{1+2{k^2}}}-\frac{{4{k^2}{m^2}}}{{1+2{k^2}}}+{m^2}=0$，∴3m²=2k²+2．…（10分）
∵直線PQ與圓相切，∴${r^2}=\frac{m^2}{{1+{k^2}}}=\frac{2}{3}$，∴存在圓${x^2}+{y^2}=\frac{2}{3}$
當直線PQ的斜率不存在時，也適合${x^2}+{y^2}=\frac{2}{3}$．
綜上所述，存在圓心在原點的圓${x^2}+{y^2}=\frac{2}{3}$滿足題意．…（12分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，考查滿足條件的圓的方程是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、向量垂直、直線與圓相切、橢圓性質的合理運用．