Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，因?yàn)樵诤瘮?shù)式中含字母系數(shù)a，要對(duì)a的取值進(jìn)行分類討論．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²+x+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+1，
①當(dāng)△≤0時(shí)，即（2a）²-12≤0，即-

3

≤a≤

3

時(shí)，f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）=x³+ax²+x-1的單調(diào)遞增區(qū)間為R；
②當(dāng)△＞0時(shí)，即（2a）²-12＞0，即a＜-

3

或a＞

3

時(shí)，
令f′（x）=3x²+2ax+1=0，解得x=

-a+ a2-3

3

，或x=

-a- a2-3

3

當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞

-a+ a2-3

3

，或x＜

-a- a2-3

3

，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即

-a- a2-3

3

＜x＜

-a+ a2-3

3

，f（x）為單調(diào)減函數(shù)，
綜上所述，當(dāng)-

3

≤a≤

3

時(shí)，f（x）在R上遞增，
當(dāng)a＜-

3

或a＞

3

時(shí)，函數(shù)f（x）在（

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

）上單調(diào)遞減，
在（-∞，

-a- a2-3

3

）和（

-a+ a2-3

3

，+∞）單調(diào)遞增

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，求解本題關(guān)鍵是記憶好求導(dǎo)的公式以及極值的定義，要會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，本題還涉及了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．要求會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)含有字母參數(shù)的問(wèn)題能夠運(yùn)用分類討論的思想方法．屬中檔題．