Question

7．如圖正方形ABCD的邊長為ABCD的邊長為$2\sqrt{2}$，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點(diǎn)G，O為GC的中點(diǎn)，$FO=\sqrt{3}，且FO⊥$平面ABCD．
（I）求證：AE∥平面BCF；
（Ⅱ）若$FO=\sqrt{3}$，求證CF⊥平面AEF．

Answer 1

分析 （I）利用正方形，平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，DE∥BF，可證平面ADE∥平面BCF，即可證明AE∥平面BCF…5分
（Ⅱ）由已知可證AC²=AF²+CF²，由勾股定理可得CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，可得FO⊥BD，又AC⊥BD，即可證明BD⊥平面AFC，結(jié)合EF∥BD，即可證明EF⊥CF，從而可證CF⊥平面AEF．

解答 證明：（I）∵四邊形ABCD為正方形，四邊形BDEF是平行四邊形，
∴AD∥BC，DE∥BF，
∵AD∩DE=D，BC∩BF=B，
∴平面ADE∥平面BCF，
又∵AE?平面ADE，
∴AE∥平面BCF…5分
（Ⅱ）∵正方形ABCD邊長為2$\sqrt{2}$，
∴對(duì)角線AC=4，
又∵O為GC中點(diǎn)，
∴AO=3，OC=1
又∵FO⊥平面ABCD，且FO=$\sqrt{3}$，
∴AF²=AO²+OF²=9+3=12，CF²=OC²+OF²=1+3=4，
又AC²=16，
∴AC²=AF²+CF²，
∴CF⊥AF，
又FO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴FO⊥BD
又∵AC⊥BD
∴BD⊥平面AFC，
又∵EF∥BD，
∴EF⊥平面AFC
∴EF⊥CF，
又EF∩AF=F
∴CF⊥平面AEF…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．