Question

17．在平面直角坐標系xOy中，已知向量$\overrightarrow a$=（2，0），$\overrightarrow b$=（0，1）．設向量$\overrightarrow x=\overrightarrow a+（{1+cosθ}）\overrightarrow b$，$\overrightarrow y=-k\overrightarrow a+{sin^2}$$θ•\overrightarrow b$，其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$．
（1）若$\overrightarrow x$∥$\overrightarrow y$，且θ=$\frac{π}{3}$，求實數(shù)k的值；
（2）若$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$，求實數(shù)k的最大值，并求取最大值時cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）把θ=$\frac{π}{3}$代入$\overrightarrow x=\overrightarrow a+（{1+cosθ}）\overrightarrow b$，$\overrightarrow y=-k\overrightarrow a+{sin^2}$$θ•\overrightarrow b$，結合已知向量的坐標可得$\overrightarrow{x}，\overrightarrow{y}$的坐標，再由向量共線的坐標表示列式求得k值；
（2）由$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$，結合向量垂直的坐標表示可得$k=\frac{1}{4}{sin^2}θ（{1+cosθ}）$．換元后利用導數(shù)求得最值，并得到k取最大值時cosθ的值．

解答 解：（1）當$θ=\frac{π}{3}$時，$\overrightarrow x=（{2，\frac{3}{2}}）$，$\overrightarrow y=（{-2k，\frac{3}{4}}）$，
∵$\overrightarrow x$∥$\overrightarrow y$，∴$2•\frac{3}{4}=-2k•\frac{3}{2}$，
∴$k=-\frac{1}{2}$；
（2）依題意，$\overrightarrow x=（{2，1+cosθ}）$，$\overrightarrow y=（{-2k，{{sin}^2}θ}）$．
∵$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$，
∴4k=sin²θ（1+cosθ），即$k=\frac{1}{4}{sin^2}θ（{1+cosθ}）$．
令y=sin²θ（1+cosθ），即y=（1-cos²θ）（1+cosθ），其中$0＜θ＜\frac{π}{2}$．
令cosθ=t∈（0，1），則y=-t³-t²+t+1，t∈（0，1）．
則y′=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1）．
令y′=0，則$t=\frac{1}{3}$，
∴當$t∈（{0，\frac{1}{3}}）$時，y′＞0，即y=-t³-t²+t+1在$t∈（{\frac{1}{3}，1}）$上單調遞增；
當$t∈（{\frac{1}{3}，1}）$時，y′＜0，即y=-t³-t²+t+1在$t=\frac{1}{3}$上單調遞減．
故當$t=\frac{1}{3}$，即$cosθ=\frac{1}{3}$時，${y_{max}}=\frac{32}{27}$，此時實數(shù)k取最大值$\frac{8}{27}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量共線與垂直的坐標表示，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．