Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，若存在唯一的正整數(shù)n使得不等式$a_n^2-t{a_n}-2{t^2}＜0$（t＞0）成立，則正實數(shù)t的取值范圍為$（{\frac{1}{2}，1}]$．

Answer 1

分析 2S_n=（n+1）a_n，利用n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1，化為：$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=…=$\frac{{a}_{2}}{2}=\frac{{a}_{1}}{1}$=1．因此a_n=n．不等式$a_n^2-t{a_n}-2{t^2}＜0$（t＞0），即n²-nt-2t²＜0，解得t$＞\frac{n}{2}$．根據(jù)存在唯一的正整數(shù)n使得不等式$a_n^2-t{a_n}-2{t^2}＜0$（t＞0）成立即可得出．

解答 解：∵2S_n=（n+1）a_n，∴n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=（n+1）a_n-na_n-1，化為：$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=…=$\frac{{a}_{2}}{2}=\frac{{a}_{1}}{1}$=1．
∴a_n=n．
不等式$a_n^2-t{a_n}-2{t^2}＜0$（t＞0），即n²-nt-2t²＜0，∴（2t-n）（t+n）＞0，
解得t$＞\frac{n}{2}$．
∵存在唯一的正整數(shù)n使得不等式$a_n^2-t{a_n}-2{t^2}＜0$（t＞0）成立，
∴n只能取1，因此$\frac{1}{2}＜t≤$1．．
故答案為：$（{\frac{1}{2}，1}]$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的通項公式、不等式的解法、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．